x[n] = xa(nTs)
Periodicidad del espectro y bins de la DFT
Una misma narrativa visual conecta cuatro ideas: una señal limitada en el tiempo tiene transformada continua, el muestreo temporal hace periódico el espectro discreto, la frecuencia normalizada vive en una circunferencia de período 1 y la DFT toma N muestras fijas de ese espectro periódico.
X(ejω) periódica con período 2π, y en F las réplicas se separan por Fs
X[k] = X(ej2πk/N), Fk = kFs/N, X[k + N] = X[k]
1. Señal continua limitada en el tiempo
La curva es continua en t; no aparecen bins todavía.
2. FT continua |Xa(F)|
El espectro asociado a la señal continua no se presenta como periódico.
3. Muestreo temporal x[n] = xa(nTs)
Las muestras quedan fijadas cada Ts = 1 / Fs.
4. DTFT continua de la secuencia discreta
La transformada sigue siendo continua en frecuencia, pero con la misma forma de 2 repetida cada Fs.
5. Extensión periódica temporal del bloque N
Para pasar a la DFT, repetimos en el tiempo discreto un único bloque de N muestras.
6. Espectro discreto periódico de la DFT
La señal periódica en tiempo produce líneas discretas en frecuencia, repetidas cada Fs.
7. Primer período de la DFT: k = 0 … N−1 ↔ [0, Fs)
8. Espectro centrado: reordenación tipo fftshift
Las primeras N/2 muestras y las restantes conservan su identidad, pero ahora aparecen alrededor de 0.
Qué cambia al muestrear
La flecha importante es esta: pasar de xa(t) a x[n] no discretiza solo el tiempo; también hace que la DTFT repita la misma forma espectral en intervalos de Fs. Después, la DFT selecciona únicamente las líneas del primer período.